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第一节不等关系与不等式
三年13考 高考指数:★★★1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式(组)的实际背景.
1.不等式的性质是考查的重点;2.不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合进行综合考查；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇则以解答题为主.
1.两实数比较大小的法则关系法则a＞ba=ba＜ba-b＞0a-b=0a-b＜0
【即时应用】下列不等式中正确的是.①m-3＞m-5②5-m＞3-m③5m＞3m④5+m＞5-m【解析】m-3-m+5=2＞0，故①正确；5-m-3+m=2＞0，故②正确；5m-3m=2m，无法判断其符号，故③错；5+m-5+m=2m,无法判断其符号，故④错.答案：①②
2.不等式的基本性质性质具体名称性质内容特别提醒（1）（2）（3）（4）对称性传递性可加性可乘性a>ba>b,b>ca>b______________⇔⇒注意c的符号⇔bca+c>b+cac>bcacb>0a>b>0a,b同为正数⇒⇒a+c>b+d________ac>bdan>bn________⇒⇒⇒⇒(n∈N,n≥2)(n∈N,n≥2)
【即时应用】(1)已知a、b、c、d∈R,且c＞d,则“a+c＞b+d”是“a＞b”的条件.(2)若a＜0,-1＜b＜0，则a,ab,ab2的大小关系为.(3)已知a,b,c∈R，有以下命题：①若a>b,则ac2>bc2;②若ac2>bc2,则a>b;③若a>b,则a·2c>b·2c.以上命题中正确的是______（请把正确命题的序号都填上）.
【解析】(1)若a+c＞b+d,c＞d不妨令a=1,b=2,c=5,d=3，则上式成立，但a＜b，故充分条件不具备，反之，若a＞b,c＞d,则a-b＞0,c-d＞0，两式相加得a-b+c-d＞0，即a+c＞b+d，故必要条件具备，故应为必要不充分条件.
（2）由已知得0＜b2＜1,a＜0,故ab＞0,ab2＜0且a＜ab2，故a＜ab2＜ab.(3)当c=0时，①不正确；若ac2>bc2，则c2>0,∴a>b，故②正确；由2c>0知③正确.答案：（1）必要不充分（2）a＜ab2＜ab(3)②③
3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质①a＞b,ab＞0②a＜0＜b③a＞b＞0,0＜c＜d④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0
(2)有关分数的性质若a＞b＞0,m＞0,则①真分数的性质：②假分数的性质：
【即时应用】(1)与的大小为.(2)若0＜a＜b，c＞0，则与的大小关系为.
【解析】(1)∵故(2)∵0＜a＜b,∴又c＞0,故故答案：(1)(2)
用不等式（组）表示不等关系【方法点睛】实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等.其转换关系如下表.
文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言＞＜≥≤
【例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.【解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可.
【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知
【反思·感悟】用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围.
【变式训练】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则由题意可得即
比较大小【方法点睛】比较大小的常用方法（1）作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.(3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断.提示：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论，从而误解.
【例2】（1）(2012·昌平模拟）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是()（A）a2+1＞b2+1（B）＜1（C）lg(a-b)＞0（D）(2)已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是()（A）M＜N（B）M＞N（C）M=N（D）不确定（3）已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小.
【解题指南】(1)运用特殊值验证即可.（2）可用作差法求解.(3)利用作商法求解判断.【规范解答】(1)选D.令则A、B、C均不成立，故选D.(2)选B.∵M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)又a1,a2∈(0,1)，故(a1-1)(a2-1)＞0,故M＞N.
(3)∵又a＞b＞0,故＞1,a-b＞0,∴即又abba＞0,∴aabb＞abba,∴aabb与abba的大小关系为：aabb＞abba.
【互动探究】若将本例（2）中，“a1，a2∈(0,1)”改为“a1，a2∈(1,+∞)”，结论又将如何？【解析】M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)，∵a1，a2∈(1,+∞),∴(a1-1)(a2-1)＞0,故M-N＞0，故M＞N.
【反思·感悟】1.作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形.2.当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法.
【变式备选】比较下列各组中两个代数式的大小.(1)3m2-m+1与2m2+m-3;(2)(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)(x>y>0);(3)a＞0,b＞0比较与a+b的大小.
【解析】(1)∵（3m2-m+1）-(2m2+m-3)=m2-2m+4=(m-1)2+3＞0,∴3m2-m+1＞2m2+m-3.(2)∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).∵x>y>0,∴-2xy(x-y)<0,∴(x2+y2)(x-y)<(x2-y2)(x+y).
(3)作差：∵又∵a＞0,b＞0,∴≥0,故≥a+b.
不等式性质的应用【方法点睛】不等式性质的应用类型分析（1）与常用逻辑用语结合考查充要条件，（2）应用性质比较大小，（3）求范围，并且求参数范围问题是考查的热点问题，它常与三角函数等结合考查.
【例3】（1）(2011·浙江高考）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（2）已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围.
【解题指南】(1)利用不等式的基本性质进行判断.(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.
【规范解答】(1)选A.0＜ab＜1可分为两种情况:当a＞0,b＞0时，由0＜ab＜1两边同除以b可得a＜;当a＜0,b＜0时，两边同除以a可得b＞∴“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件，反之，当a＜或b＞时，可能有ab＜0,∴“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的不必要条件，故应为充分不必要条件.
(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b).即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.于是得解得∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
方法二:即∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
【互动探究】若本例（2）中的条件不变，求f(2)的取值范围.【解析】设f(2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数），则4a+2b=m(a-b)+n(a+b)，即4a+2b=(m+n)a+(n-m)b.于是得即所以f(2)=f(-1)+3f(1),又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴7≤f(-1)+3f(1)≤14,即7≤f(2)≤14.
【反思·感悟】1.判断一个与不等式有关的命题的真假，首先找到与命题相关的性质，明确不等式成立的条件，然后再判断；对于选择题、填空题要注意特殊值法的应用.2.根据不等式的性质求范围时，一定要利用不等式的性质进行变形求解，如不等式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负；同向不等式只能相加，不能相减等.同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性.
【变式备选】1.已知120>b且a+b>0，那么以下不等式正确的个数是()①a2>b2;②③a30,b<0,|a|>|b|,∴a2>b2成立，成立，a3-ab2=a(a2-b2)>0,③不成立，a2b-b3=b(a2-b2)<0,④成立.
2.(2012·金华模拟）已知x＞0,y＞0,x≠y，则下面四个数中最小的是()
【解析】选C.特值验证法，令x=1,y=2,可知而故最小.故选C.
3.(2012·嘉兴模拟）已知a,b为实数，则“a＞b＞1”是“”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选A.由又当a=0,b=2时，a＞b＞1,故选A.
