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第四节基本不等式
三年8考 高考指数:★★★会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.
1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件是.(2)等号成立的条件是：当且仅当时取等号.(3)其中称为正数a,b的，称为正数a，b的.a>0,b>0a=b算术平均数几何平均数
【即时应用】判断下列不等式是否正确.（请在括号中填写√或×）(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)()(2)ab≤(a，b∈R)()(3)≤(a,b∈R)()(4)≥2(a,b均不为零)()
【解析】（1）由（a-b）2≥0得a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab，故（1）正确.（2）由（1）可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,即ab≤,故（2）正确.（3）由=≤0,故（3）正确.（4）若a,b异号，如a=-1,b=1,则=-2<2,故（4）错.答案：（1）√(2)√(3)√(4)×
2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正实数，且a＋b＝M，M为定值，则等号当且仅当时成立.（简记：和定积最大）（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥，等号当且仅当时成立.（简记：积定和最小）a＝ba＝b
【即时应用】（1）已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为.（2）函数f(x)=的最大值为.（3）已知m>0,n>0且mn≥81，则m+n的最小值为.
【解析】（1）由2=x+3y≥得故xy≤等号当且仅当x=1,y=时取得.(2)∵x≥0，①当x=0时，f(0)=0；②当x＞0时，f(x)=当且仅当即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为
(3)∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴≥9,∴m+n≥≥18，故m+n的最小值为18.答案：（1）（2）（3）18
利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值的常见类型（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.（3）若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.提醒：（1）应用基本不等式注意不等式的条件.（2）若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.
【例1】（1）(2012·无锡模拟)若x>-3，则的最小值为.（2）已知x,y为正实数，且满足则xy的最大值为.（3）已知a，b为正实数且a+b=1，则的最小值为.
【解题指南】（1）将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.（2）直接应用基本不等式求解.（3）将与中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
【规范解答】（1）由x>-3得x+3>0,又等号成立的条件是x+3=即x=-3.答案：（2）因为x,y为正实数，所以所以即xy≤3,当且仅当x=y=2时等号成立.答案：3
（3）∵a>0,b>0,a+b=1,∴同理∴等号成立的条件为a=b=答案：9
【互动探究】若将本例（1）中x>-3去掉，而求的取值范围，又将如何求解？
【解析】分情况讨论，由题意得x≠-3,(1)当x>-3时，由例题可知(2)当x<-3时，x+3<0，故-(x+3)>0,=-［-(x+3)+］-3≤等号成立的条件是故的取值范围是（-∞,］∪［-3,+∞).
【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”或“积”为定值.2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.
【变式备选】若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是．【解析】xy=2x+y+6≥+6,令xy=t2(t>0),可得t2--6≥0，注意到t＞0，解得t≥故xy的最小值为18.答案：18
基本不等式的实际应用【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.
【解题指南】（1）由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；（2）先由限制条件确定自变量的范围，然后判断（1）中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.
【规范解答】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米.则总造价f(x)=400×(2x+)+248×2x+80×162=1296x++12960=1296（x+）+12960≥1296×+12960=38880(元)，当且仅当(x>0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.
（2）由限制条件知∴≤x≤16.设g(x)=x+(≤x≤16),由函数性质易知g(x)在［，16］上是增函数，∴当x=时（此时=16）,g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×()+12960=38882（元）.∴当长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元.
【反思·感悟】1.本例（2）中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围.
【变式训练】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为万元.
设汽车的年平均费用为y万元，则有y==≥当且仅当即x=10时，y取得最小值.答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.
基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.
【例3】（1）(2012·杭州模拟）设x,y∈R，a>1,b>1，若ax=by=4且a+b=,则的最大值为.（2）已知函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1恒过定点P，且点P在直线=2(a,b∈R+)上，则3a+2b的最小值为.【解题指南】（1）用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可求.（2）求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.
【规范解答】（1）由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故又∵a>1,b>1,a+b=故log4ab≤∴≤等号当且仅当a=b=即x=y=4时等号成立.∴的最大值为答案：
（2）由函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为（-4，2），又P在直线(a,b∈R+)上，故即∴3a+2b=(3a+2b)()=≥当且仅当3a2=4b2，即a=2+b=+1时等号成立.∴3a+2b的最小值为答案：
【互动探究】若本例（2）中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解?
【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图象恒过定点P（-1，2），依题意，P在直线上，故即∴3a+2b=(3a+2b)≥等号当且仅当时取得.所以3a+2b的最小值为
【反思·感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例（1）中其关键是构建x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将成功转化为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例（2）中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.
【变式备选】设x,y满足约束条件若目标函数z=abx+y(a＞0,b＞0)的最大值为8，则a+b的最小值为.
【解析】已知x,y满足约束条件其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，（0，2），(0)，（1，4），易见目标函数z=abx+y(a＞0,b＞0)在（1，4）取最大值8，所以8=ab+4，即ab=4，∴a+b≥=4,当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最小值为4.答案：4
忽视题目的隐含条件致误【易错误区】【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是.【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可.
【规范解答】由题意可知f(x)=的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P（x,）与Q(-x,-)，由两点间距离公式可得等号当且仅当x2=2，即x=±时取得.答案：4
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时主要有两点误区：（1）对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解.（2）有些同学设出直线方程与f(x)=联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解.
备考建议解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意（1）理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；（2）熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；（3）思考要周密，运算要准确、快速.另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.
1.(2011·福建高考)若a>0,b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于()(A)2(B)3(C)6(D)9【解析】选D.由题意得f′(x)=12x2-2ax-2b,∵函数f(x)在x=1处有极值，∴f′(1)=0,∴12-2a-2b=0,即a+b=6.又∵a>0,b>0，由基本不等式得：故ab的最大值是9.
2.(2011·陕西高考)设00得作差法：所以0,b>0,a+b=2,则的最小值是()(A)(B)4(C)(D)5【解析】选C.由a+b=2,得∴(等号当且仅当b=2a时取得).
4.(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件【解析】选B.平均每件产品的费用为当且仅当即x=80时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
5.(2011·湖南高考)设x,y∈R，且xy≠0，则的最小值为.【解析】（x2+）(+4y2)=5+4x2y2+≥9(等号当且仅当4x2y2=时取得).答案：9
6.(2011·天津高考)已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为.【解析】由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1即ab≥2(a>0,b>0),∴3a+9b=3a+32b≥当且仅当a=2b时取等号，又a+2b≥≥4，等号当且仅当a=2b时取得.即当a=2b时，3a+9b≥2·32=18.答案：18
