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第一节不等式和绝对值不等式
三年16考高考指数:★★★1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a+b|≤|a|+|b|;②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最（极）值.
1.利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、求函数的最值是考查的重点.2.利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式或证明不等式是考查的重点，也是难点.3.常以填空题或解答题的形式出现，属低、中档题.
1.不等式的基本性质对称性传递性可加性可乘性可乘方性可开方性a>bbb,b>ca>c⇒a>ba+c>b+c⇔a>b,c>0ac>bc①⇒a>b,c<0acb>0an>bn(n∈N,n≥2)⇒a>b>0(n∈N,n≥2)⇒
【即时应用】(1)思考：若a＜b，一定有吗？提示:不一定.如：a=-1,b=2时，有a＜b,但事实上，当ab＞0时，若a＜b，则有当ab＜0时，若a＜b，则有当ab=0时，若a＜b，则中有一个无意义.
（2）若{an}是各项都为正的等比数列，且公比q≠1,则a1+a4与a2+a3的大小关系是_______.【解析】（a1+a4）-(a2+a3)=a1+a1q3-a1q-a1q2=a1(1+q)(1-q)2,∵an>0,∴q>0,又q≠1,∴a1(1+q)(1-q)2>0,即a1+a4>a2+a3.答案：a1+a4>a2+a3
2.基本不等式(1)定理1如果a,b∈R，那么a2+b2____2ab，当且仅当_____时，等号成立.（2）算术平均与几何平均如果a,b都是正数，我们就称_______为a，b的算术平均，___为a,b的几何平均.（3）定理2（基本不等式）如果a,b>0，那么___当且仅当_____时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术平均______________________它们的几何平均.≥a=ba=b不小于（即大于或等于）≥
（4）利用基本不等式求最值对两个正实数x、y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当____时，它们的积P取得最____值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当____时，它们的和S取得最____值____.x=y大x=y小
【即时应用】(1)思考：利用基本不等式求最值的条件是什么？提示：利用基本不等式求最值的条件是①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取“等号”，即一正、二定、三相等.
（2）思考：函数的最小值是2吗？提示：函数的最小值不是2.当x＞0时，当x＜0时，显然f（x）既没有最大值也没有最小值.
3.三个正数的算术——几何平均不等式（1）定理3如果a,b,c为正实数,那么__当且仅当______时，等号成立.即：三个正数的算术平均_______它们的几何平均.（2）基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an，它们的算术平均_______它们的几何平均，即___当且仅当___________时，等号成立.≥a=b=c不小于不小于≥a1=a2=…=an
【即时应用】（1）若x>0,则的最小值为______.（2）若x∈(-∞,1),则函数的最大值为_____.
【解析】(1)∵x>0,∴当且仅当即时上式取等号，即的最小值为(2)y=当且仅当即x=0时上式取等号，即y≤-1.答案：(1)(2)-1
4.绝对值三角不等式（1）定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤________,当且仅当________时，等号成立.（2）定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当_______________时，等号成立.|a|+|b|ab≥0(a-b)(b-c)≥0
【即时应用】（1）思考：|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|、|a|+|b|之间有什么关系？提示：|a+b|≥|a|-|b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
（2）已知|a|≠|b|,则m,n之间的关系是_________.【解析】∵|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,∴m≤1≤n,即m≤n.答案：m≤n
5.绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a>0a=0a<0|x|a{x|-a＜x＜a}{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}RØØ
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax+b|≤c⇔;②|ax+b|≥c⇔.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c
【即时应用】（1）思考：不等式|x-c|+|x-b|≥a的几何意义是什么？提示：不等式|x-c|+|x-b|≥a的几何意义是：数轴上满足到坐标为c的点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于或等于a的点的坐标的取值范围.
（2）|2x-1|<3的解集是_________.【解析】|2x-1|<3⇒-3<2x-1<3⇒-2<2x<4⇒-10，求函数的最大值；（2）若x>0,y>0,且9x+y-xy=0,求x+y的最小值.【解题指南】对于（1）可根据题目条件，变形构造出“和”或“积”为定值的形式，利用基本不等式求解；对于（2）应将已知条件变形并建立与x+y的关系，然后再利用基本不等式求解.
【规范解答】（1）∵x>0,∴f(x)=1-2x-=当2x=,即时等号成立.∴f(x)的最大值为此时（2）方法一：∵x＞0,y＞0,9x+y-xy=0，∴9x+y=xy,即∴=6+10=16.
当且仅当时，“＝”成立，又即x=4,y=12时，上式取等号.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9（定值）可知x＞1,y＞9.∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥=6+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，“＝”成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.
【互动探究】若将本例（2）中“y＞0”改为“y≥18”,其他条件保持不变，求x+y的最小值.【解析】∵9x+y-xy=0,∴∴设f(y）＝方法一：设18≤y1＜y2,则f(y1)=f(y2)=
则f(y2)-f(y1)=∵y2＞y1≥18,∴y2-y1＞0,(y2-9)(y1-9)-9＞0,∴f(y2)-f(y1)＞0,即f(y2)＞f(y1),∴f(y)在[18，+∞)上为增函数，∴f(y)min=f(18)=20.即x+y的最小值为20.
方法二：f′(y)=∵y≥18,∴f′(y)＞0,∴f(y)在[18,+∞)上是增函数，∴f(y)min＝f(18)=20,即x+y的最小值为20.
【反思·感悟】利用基本不等式求最值的一般步骤：（1）变正，通过提取“符号”变为正值；（2）凑定，利用拆项、添项等方法，凑出“和”或“积”为定值；（3）求最值，利用基本不等式求出最值；（4）验相等，验证等号能否成立；若满足，可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.（5）得结论，得出最大值或最小值.
【变式训练】（1）已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求的最小值.（2）求函数f(x)=(02.∴当且仅当3x=8-3x,即x=时等号成立.∴当x=时，函数f(x)=取最大值
绝对值不等式的解法【方法点睛】1.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
2.几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列公式进行转化.（1）|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜-a;（2）|f(x)|＜a(a＞0)⇔-a＜f(x)＜a;（3）|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x);（4）|f(x)|＜g(x)⇔-g(x)＜f(x)＜g(x);（5）|f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2
【例2】解下列不等式：（1）|2x+5|>7+x；（2）|x2-9|≤x+3；【解题指南】（1）可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式；（2）利用绝对值的定义或|f(x)|≤a(a≥0)⇒-a≤f(x)≤a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解；
【规范解答】（1）方法一：由不等式|2x+5|>7+x,可得解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
方法二：原不等式可化为①或②或7+x<0③解①得，x>2,解②得,-7≤x<-4,解③得,x<-7.∴原不等式的解集为{x|x<-7}∪{x|-7≤x<-4}∪{x|x>2}={x|x<-4或x>2}.
（2）方法一：原不等式⇔①不等式组①⇔⇔x=-3或3≤x≤4.不等式组②⇔∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
方法二：原不等式等价于∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
方法三：设y1=|x2-9|,y2=x+3(x≥-3)，由|x2-9|=x+3，解得x1=4,x2=-3,x3=2.在同一坐标系下作出y1,y2的图象.从图中可看出使y1≤y2的x的取值范围是x=-3或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.
【反思·感悟】用“零点分段法”解|x-a|+|x-b|≥c或|x-a|+|x-b|≤c型不等式的一般步骤为：（1）令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；（2）将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；（4）取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集.
【变式训练】(2011·江西高考改编）解不等式：|x+10|-|x-2|≥8.【解题指南】不等式的左边含有两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，也可利用绝对值的几何意义求解.
【解析】①当x≤-10时，原不等式变为：-x-10+x-2≥8,即-12≥8，不符合要求；②当-102,∴x>2.综上可知：原不等式的解集为{x|x<-或x>2}.
含绝对值不等式的恒成立问题【方法点睛】对于恒成立不等式问题常见类型及其解法(1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.
(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题.
【例3】（1）若不等式|x+1|-|x-3|>a的解集为R，求a的取值范围；（2）（2011·陕西高考改编）若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立，求a的取值范围.【解题指南】（1）求出|x+1|-|x-3|的取值范围，只要a小于|x+1|-|x-3|的最小值即可；（2）求出|x+1|+|x-2|的取值范围，只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.
【规范解答】（1）方法一：因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A（-1），B（3）距离的差，即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|-|PB|的最大值为|AB|=4，最小值为-|AB|=-4，即-4≤|x+1|-|x-3|≤4.∵不等式|x+1|-|x-3|>a的解集为R，∴a的取值范围为a<-4.
方法二：由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4.|x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.∵不等式|x+1|-|x-3|>a的解集为R，∴a的取值范围为a<-4.
（2）当x≤-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1≥3;当-12时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1>3;综上可得|x+1|+|x-2|≥3,所以只要a≤3,即实数a的取值范围是（-∞,3］.
【互动探究】若本例（1）中不等式有解，求a的取值范围；若不等式的解集为Ø，求a的取值范围.【解析】由本例（1）的解析过程可知，|x+1|-|x-3|的取值范围为［-4，4］.故若不等式|x+1|-|x-3|>a有解，只要a比|x+1|-|x-3|的最大值小即可，即a<4;若不等式|x+1|-|x-3|>a的解集为Ø，只要a不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可，即a≥4.
【反思·感悟】对于含参数不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为Ø的对立面（如f(x)>m的解集是Ø，则f(x)≤m恒成立）也是不等式恒成立问题，要注意以上三者的区别.
【变式备选】设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.（1）若a=-1,解不等式f(x)≥3;（2）如果关于x的不等式f(x)≤2有解，求a的取值范围.
【解析】（1）当a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|.由f(x)≥3,得|x-1|+|x+1|≥3.①当x≤-1时，原不等式可化为1-x-1-x≥3,即x≤-.②当-1
