2013版高中全程复习方略配套课件:选修4-5.3柯西不等式(人教A版·数学理)浙江专用-教学课件

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资源描述:

第三节柯西不等式 三年1考高考指数:★1.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义并会证明. (1)柯西不等式的向量形式:(2)(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2(3)(通常称为平面三角不等式) 2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:3.会用柯西不等式证明一些简单问题,能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值. 1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值,以及解决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点.2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查,是本节的难点、重点.3.通常以解答题形式出现,是高考的新热点之一. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①代数形式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥________,当且仅当______时,等号成立.②向量形式设是两个向量,则||≤___________,当且仅当___________,或____________________时,等号成立.(ac+bd)2ad=bc是零向量存在实数k,使 ③三角形式设x1,y1,x2,y2∈R,那么_________________.(2)三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则_______________.当且仅当__________或_____________________________________时,等号成立.b1=b2=b3=0存在一个数k,使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3 (3)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则_______________________,当且仅当__________________或____________________________________时,等号成立.bi=0(i=1,2,3,…,n)存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,…,n) 【即时应用】(1)思考:在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以写成吗?提示:不可以.当b=d=0时,柯西不等式成立,但不成立. (2)思考:不等式(a2+b2)(d2+c2)≥(ac+bd)2是柯西不等式吗?提示:不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系,对谁与谁组合是有顺序的,不是任意的搭配,因此要仔细体会,加强记忆. (3)若2x+3y=1,则4x2+9y2的最小值为______.【解析】(4x2+9y2)·(12+12)≥(2x+3y)2=1∴答案: 利用柯西不等式证明不等式【方法点睛】利用柯西不等式的解题方法(1)柯西不等式的一般结构为在利用柯西不等式证明不等式(或比较大小)时关键是正确构造左边的两个数组,从而利用题目的条件正确解题. (2)使用柯西不等式时,既要注意它的数学意义,又要注意它的外在形式,当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时,就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小. 【例1】(1)设a,b,c为正数,且不全相等,求证:(2)已知a,b,c,d均为正实数,且a+b+c+d=1,求证:【解题指南】(1)根据题目条件,可构造两组数据然后利用柯西不等式解决.(2)因为a+b+c+d=1,所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,故可构造数组,利用柯西不等式证明. 【规范解答】构造两组数由柯西不等式得:①即∴ 由柯西不等式知,①中等号成立而题设中a,b,c不全相等,故①中等号不能成立,∴ (2)∵[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]•()≥=(a+b+c+d)2=1,又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+(a+b+c+d)=5, 【反思·感悟】由a,b,c构造成的新数和不但需要较高的观察能力,而且应从所给的数学式中看出. 【变式训练】1.设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=m,求证【证明】当且仅当      时,等号成立. 2.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,证明a3+b3+c3≥【证明】利用柯西不等式(a2+b2+c2)2=≤=(a3+b3+c3)(a+b+c)又因为a2+b2+c2≥ab+bc+ca,在此不等式两边同乘以2,再加上a2+b2+c2 得:(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2),∵a+b+c=1,∴(a+b+c)≤3(a2+b2+c2),∴(a2+b2+c2)2≤(a3+b3+c3)·3(a2+b2+c2)故a3+b3+c3≥ 利用柯西不等式求最值【方法点睛】利用柯西不等式求最值的技巧(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征,这是利用柯西不等式求解的先决条件;(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是应用柯西不等式解题的技巧; (3)有些最值问题需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次,前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误,多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.【提醒】在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件. 【例2】(1)设正数x、y、z满足x+y+z=1,求函数μ=2x2+3y2+z2的最小值.(2)求函数的最大值.【解题指南】(1)由x+y+z=1以及μ=2x2+3y2+z2的形式,可以构造柯西不等式解决问题.(2)关键是构造再利用柯西不等式求解. 【规范解答】(1)根据已知条件和柯西不等式,我们有故μ≥而等号成立的条件是:即z=λ,代入条件x+y+z=1得λ=此时,故当时,函数μ=2x2+3y2+z2取得最小值 (2)由柯西不等式,得故当且仅当即时,f(x)取得最大值为 【互动探究】若例题(1)条件不变,求的最大值.【解析】由柯西不等式,得当且仅当时,取等号.∴的最大值为 【反思·感悟】1.利用柯西不等式求最值的一般结构为:2.在利用柯西不等式求最值时,不但要注意等号成立的条件,而且要善于构造,技巧如下: (1)巧拆常数;(2)重新安排某些项的次序;(3)改变结构从而达到可以使用柯西不等式的目的;(4)添项. 【变式备选】1.设x+2y+3z=3,求4x2+5y2+6z2的最小值.【解析】∵∴由柯西不等式知=(x+2y+3z)2=9.于是 即因为方程组有解所以4x2+5y2+6z2有最小值 2.已知正实数u,v,w满足u2+v2+w2=8,求的最小值.【解析】∵u2+v2+w2=8,∴82=(u2+v2+w2)2=≤()(9+16+25)∴ 当且仅当即时取到等号,∴当时的最小值为

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